Найти площадь сечения – Как найти площадь сечения шара 🚩 Площадь сечения шара формула 🚩 Математика

Содержание

Стереометрия. Площадь сечения через площадь проекции сечения.

Если сечение сложной формы, то не стоит пытаться найти его площадь “в лоб”. Умный гору обойдет… И мы обойдем: определим площадь проекции сечения (обычно это очень просто) и угол наклона плоскости сечения к плоскости основания. Потом воспользуемся известной формулой. Но об этом – дальше.

Задача 1. В прямоугольном параллелепипеде с ребрами AB=4 ‚ BC=З и AA1=2

точки

-середины ребер A1B1

соответственно. Плоскость APQ

пересекает ребро B1C1

в точке

а) Докажите, что ;

б) Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью APQ .

Рисунок 1 – к задаче 1

Построим сечение. Построим прямую

– ведь точки

принадлежат одной грани. Построим прямую BB_1

и найдем точку пересечения прямой

и прямой

– точку

Рисунок 2 – к задаче 1

Эта точка принадлежит как плоскости грани ABB_1 , так и плоскости грани B_1BC . Проведем прямую и определим точку пересечения этой прямой с ребром B_1C_1

– точку

Рисунок 3 – к задаче 1

Построим линии, по которым сечение «режет» грани параллелепипеда: .

Рисунок 4 – к задаче 1

Теперь построим прямую

и определим точку ее пересечения с прямой

– точка

пересечения лежит в плоскости верхней грани, и это позволяет соединить ее с точкой

. Теперь найдем место пересечения отрезка

с ребром

– точку

, и можно обводить и штриховать сечение:

Рисунок 5 – к задаче 1

Докажем пункт а). Рассмотрим треугольники A_1AP и YCQ . Они подобны, так как образованы параллельными прямыми: $AP\parallel YQ$

. Так как $CQ=\frac{1}{2}CC_1$ , то коэффициент подобия этих треугольников – $\frac{1}{2}$ . Тогда $YC=\frac{1}{2}A_1P=\frac{1}{4}DC$

. Так как треугольники ABX

также подобны с коэффициентом $\frac{1}{4}$ , то $CX=\frac{1}{4}BX=\frac{1}{3}BC$

. Но треугольники CXQ

равны по 2 признаку, следовательно, CX=WC_1

, или $WC_1=\frac{1}{3}B_1C_1$

, то есть

б) Определим площадь сечения. Для этого можно определить площадь проекции этого сечения, и косинус угла между плоскостью и основанием параллелепипеда. Сначала найдем площадь проекции. Отрежем два треугольника от основания параллелепипеда, тогда оставшееся – и есть площадь проекции (многоугольник – выделено голубым цветом).

Рисунок 6 – к задаче 1

Площадь основания параллелепипеда равна 12, отрезаем треугольник PB_1W : PB_1=2 по условию, B_1W=2 по доказанному отношению из пункта а). Следовательно,

$S_{PB_1W}=\frac{PB_1 \cdot B_1W}{2}=2$

Отрезаем треугольник A_1ZD_1 : по условию, D_1Z=3 по доказанному отношению из пункта а). Следовательно,

$S_{ A_1ZD_1}=\frac{PB_1 \cdot B_1W}{2}=4,5$

Тогда площадь проекции равна

$S_{pr}=12-2-4,5=5,5$

Теперь найдем угол наклона плоскости сечения к плоскости основания, вернее, его косинус. Нужно найти косинус угла – или любую другую тригонометрическую функцию – угла YWZ . Рассмотрим треугольник YWZ . Он прямоугольный, катет YZ=2 (равен высоте параллелепипеда). Длина отрезка может быть найдена из треугольника WC_1Z :

$WZ^2=WC_1^2+C_1Z^2$

По ранее доказанному WC_1=1 , $ZC_1=YC=\frac{1}{2}A_1P=\frac{1}{4}DC=1$ .

$WZ=\sqrt{ WC_1^2+C_1Z^2}=\sqrt{2}$

$WY^2=WZ^2+ZY^2=2^2+2=6$

Тогда

$\cos{\angle YWZ}=\frac{WZ}{WY}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Площадь сечения равна

$S=\frac{ S_{pr}}{\cos{\angle YWZ}}=5,5\sqrt{3}$

Ответ: $S=5,5\sqrt{3}$ .

Задача 2. В правильной четырехугольной призме сторона основания равна 6, а боковое ребро AA1 равно $4\sqrt{3}$ . На ребрах и C1D1 отмечены точки M, N и соответственно, причем .

а) Пусть – точка пересечения плоскости MNK с ребром . Докажите, что MNKL – квадрат;

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK .

Рисунок 1 – к задаче 2

Проведем прямую и через точку – параллельную ей прямую, так как плоскость сечет противоположные грани параллелепипеда (прямой призмы) по параллельным прямым:

Рисунок 2 – к задаче 2

Найдем точку пересечения прямой и – точку . Эта точка принадлежит плоскости грани DCC_1 . Поэтому ее можно соединить с точкой отрезком, который пересечет ребро CC_1 в точке . Найдем точку пересечения прямой и A_1B_1 – точку . Эта точка принадлежит плоскости грани ABB_1 . Поэтому ее можно соединить с точкой отрезком, который пересечет ребро AA_1 в точке .

Рисунок 3 – к задаче 2

Рисунок 4 – к задаче 2

Соединяя точки , , , , , , получим искомое сечение.

Докажем, что MNKL – квадрат.

Рисунок 5 – к задаче 2

Так как отрезки и принадлежат одной плоскости (плоскости сечения) и одновременно параллельным плоскостям верхнего и нижнего оснований призмы, то они параллельны. Также $ML=NK=5\sqrt{2}$ .

и – диагонали прямых правильных призм со стороной основания 1 и высотой $4\sqrt{3}$ . Тогда

$MN=LK=\sqrt{AM^2+A_1N^2+AA_1^2}=\sqrt{1^2+1^2+(4\sqrt{3})^2}=\sqrt{50}$

Получается, MNKL – как минимум, ромб. И по признаку параллелограмма, так как противоположные стороны попарно равны, то MNKL – квадрат.

Рисунок 6 – к задаче 2

Площадь основания призмы равна 36, отрезаем треугольник NKD_1 : KD_1=5 по условию, D_1N=5 по доказанному отношению из пункта а). Следовательно,

$S_{PB_1W}=\frac{KD_1\cdot D_1N}{2}=12,5$

Отрезаем треугольник JB_1I : JB_1=5 по условию, B_1I=5 по доказанному отношению из пункта а). Следовательно,

$S_{ JB_1I}=\frac{JB_1 \cdot B_1I}{2}=12,5$

Тогда площадь проекции равна

$S_{pr}=36-12,5-12,5=11$

Теперь найдем угол наклона плоскости сечения к плоскости основания, вернее, его косинус. Нужно найти косинус угла – или любую другую тригонометрическую функцию – угла LKI . Рассмотрим треугольник LKI . Он прямоугольный, катет $LI=4\sqrt{3}$ (равен высоте параллелепипеда). Длина отрезка может быть найдена из треугольника IC_1K :

$IK^2=IC_1^2+C_1K^2$

По ранее доказанному IC_1=1 , C_1K=1 .

$IK=\sqrt{ IC_1^2+C_1K^2}=\sqrt{2}$

$LK^2=IL^2+IK^2=(4\sqrt{3})^2+2=50$

Тогда

$\cos{\angle LKI}=\frac{KI}{LK}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{50}}=\frac{1}{5}$

Площадь сечения равна

$S=\frac{ S_{pr}}{\cos{\angle LKI}}=55$

Ответ: S=55 .

Сопромат.in.ua: Площадь сечения некоторых фигур

Приведены формулы вычисления площади некоторых фигур, которые вы можете вычислить непосредственно на этой странице.

Фигура	Формула вычисления площади	Примечания
Квадрат	$$a^2$$	a длина стороны квадрата.
Равносторонний треугольник	$$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$	a – длина одной из сторон
Треугольник	$$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$	где s = 1/2 (a + b + c), a,b,c – длины сторон треугольника
	$$\frac{1}{2}b\cdot h_b$$	где b – длина стороны треугольника h_b – высота, проведённая на сторону b
	$$\frac{1}{2} a b \sin \gamma $$	где a и b – длина сторон треугольника [math]\gamma[/math] – угол между ними в °
Правильный шестиугольник	$$\frac{3\sqrt{3}}{2}s^2$$	s – сторона шестиугольника
Правильный восьмиугольник	$$2\left(1+\sqrt{2}\right)s^2$$	s – сторона восьмиугольника R – радиус описанной окружности $$s={R\over\sqrt{1+{\sqrt{2}/2}}} ≈ {R\over 1.3066}$$
Прямоугольник	$$a\cdot b$$	a и b стороны прямоугольника (длина и ширина)
Параллелограмм	$$b\cdot h$$	b – длина одной из основ параллелограмма h – высота параллелограмма
Трапеция	$$\frac{a+b}{2}\cdot h $$	a и b длины параллельных сторон, а h – высота (расстояние между параллельными сторонами)
Правильный многоугольник (это многоугольник, у которого все углы и все стороны равны между собой)	$$\frac{ns^2} {4 \cdot \tan(\pi/n)} $$	s -длина стороны, а n число сторон.
Круг	$$\pi r^2 \text{ или } \frac{\pi d^2}{4} $$	r – радиус, а d – диаметр
Эллипс	$$\pi ab $$	a и b – большая и малая полуоси эллипса, соответственно.
Сектор (часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга)	$$\frac{1}{2} r^2 \theta $$	r и [math]\theta[/math] – радиус и угол (в радианах), соответственно
	$$\frac{1}{2} r^2 \frac{\theta \pi}{180} $$	r и [math]\theta[/math] – радиус и угол (в ° ), соответственно

особенности величины, как найти её для круга

В инженерной и строительной практике нередко встречаются задачи по расчёту площади поперечного сечения. Если фигуру разрезать по линии, которая перпендикулярна продольной оси предмета, то полученный торец и будет поперечным сечением. Круг — один из наиболее часто встречающихся видов подобного рассечения. Такой срез присущ цилиндру, шару, конусу, тору, эллипсоиду.

Определение величины

Площадь — это величина, характеризующая размер геометрической фигуры. Её определение — одна из древнейших практических задач. Древние греки умели находить площадь многоугольников: так, каменщикам, чтобы узнать размер стены, приходилось умножать её длину на высоту.

По прошествии долгих лет трудом многих мыслителей был выработан математический аппарат для расчета этой величины практически для любой фигуры.

На Руси существовали особые единицы измерения: копна, соха, короб, верёвка, десятина, четь и другие, так или иначе связанные с пахотой. Две последних получили наибольшее распространение. Однако от древнерусских землемеров нам досталось только само слово — «площадь».

С развитием науки и техники появилось не только множество формул для расчёта площадей любых геометрических фигур, но и приборы, которые делают это за человека. Такие приборы называют планиметрами.

Область применения

Круг — одна из фундаментальных фигур, которые окружают человека повсюду. Трубы, колеса, лампы, конфорки у плиты — всё это имеет форму круга или поперечное сечение в виде круга. Расчёт площади такого сечения может понадобиться в следующих ситуациях:

Определение объемов емкостей.
Решение задач по сопротивлению материалов и электротехнике.
Расчет количества материалов при проектировании, строительстве и ремонте.
Ведение поливного земледелия.

Стоит обратить внимание на разницу между кругом и окружностью. Окружность — это замкнутая кривая, все точки которой равно удалены от центра, в то время как круг — это часть плоскости (геометрическая фигура), ограниченная окружностью.

Круг имеет ряд характеристик:

радиус (r/R) — отрезок, соединяющий центр фигуры с его границей;
диаметр (d/D) — отрезок, который соединяет две точки границы круга и проходит через его центр;
длина окружности (C/c/L/l).

Теорема гласит: площадь круга (S) равна произведению половины длины окружности и его радиуса. Длина окружности С находится в прямой зависимости от радиуса R с коэффициентом π («пи» = 3,14).

Способы расчета

Чтобы получить круглое поперечное сечение, необходимо разрезать объёмную фигуру перпендикулярно оси вращения. В случае с цилиндром площади всех поперечных сечений будут равны между собой — как, например, кружки колбасы, нарезанные поперек батона, одинаковы.

Шар, по сути, представляет собой напластование блинчиков-кругов различного диаметра от точечного до заданного и обратно до точки. Чтобы найти S какого-либо из блинчиков, необходимо определить его радиус. Принцип его расчёта сводится к решению теоремы Пифагора, где гипотенузой выступает радиус шара, а искомый радиус становится одним из катетов.

При расчёте площади сечений конуса необходимо найти радиус или диаметр каждого из кругов, учитывая, что в продольном разрезе конус — это равнобедренный треугольник.

Цилиндр, конус и шар — базовые объемные фигуры. Однако существуют более сложные фигуры, например, тор. Тор, или тороид, при первом приближении являет собой не что иное, как бублик или баранку. Разломив его пополам, на торцах можно увидеть два одинаковых круга. Площадь такого поперечного сечения можно получить, удвоив имеющуюся (на рисунке серая область справа). Если взять нож и рассечь баранку вдоль, на срезе получится кольцо. В случае с такой фигурой необходимо найти площадь круга по внешней окружности и вычесть из нее «дырку от бублика» (показано серым на рисунке слева).

Площадь круглого поперечного сечения рассчитывается исходя из имеющихся характеристик. Она сводится к трем основным формулам. Их можно представить таким образом:

Самая популярная, легкая в применении и часто используемая формула. Чтобы узнать площадь фигуры, если известен её радиус, нужно возвести это значение в квадрат и умножить на число π. Для бытовых расчетов достаточно двух знаков после запятой, то есть π = 3,14.
Иногда оперируют диаметром, а не радиусом круга. В этом случае к вычислениям добавляется одна операция: диаметр умножают сам на себя, затем на число π, а произведение делят на 4.
Если известна длина окружности С и ее радиус R и нужно выяснить площадь круга, ограниченного этой окружностью, не понадобится даже π. Используют следующую формулу: значение С делят пополам и умножают на R. Полученное чисто и будет искомой величиной.

Способов определения того, чему равна площадь круга, достаточно много. Чаще всего, если возникает подобная задача, на ум приходит знакомая еще со школьной скамьи формула «эс равно пи эр квадрат».

Площадь сечения треугольника формула — Морской флот

Открытый банк заданий по теме площадь сечения. Задания C2 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1186

Условие

В правильном тетраэдре DABC с ребром 5 на рёбрах AD , BD и AC выбраны точки K , L и M соответственно так, что KD=MC=2, LD=4.

а) Постройте сечение тетраэдра плоскостью KLM .

б) Найдите площадь этого сечения.

Решение

а) Так как AK=AM=5-2=3, то riangle AKM равнобедренный.

Так как в этом равнобедренном треугольнике angle KAM=60^<circ>, то он равносторонний, то есть

KM=3. Тогда KM parallel DC, так как равны соответственные углы при прямых KM , DC и секущей AD .

Построим LN parallel DC. Так как в этом случае LN parallel KM, то точки K , L , N и M лежат в одной плоскости, то есть трапеция KLNM есть искомое сечение.

б) 1. riangle BLN sim riangle BDC, так как LN parallel DC. Следовательно, riangle BLN является равносторонним и LN=BN=BL =BD-LD=5-4=1.

2. riangle DKL= riangle CMN, так как DK=CM =2, DL=CN=4 и angle KDL=angle MCN=60^<circ>. Значит, KL=MN и KMNL — равнобедренная трапеция.

Опустим в ней высоту LH . Отсюда, KH =frac2=frac<3-1>2=1.

3. По теореме косинусов для riangle KDL получим:

KL^2= KD^2+DL^2-2cdot KDcdot DLcdot cos 60^<circ>= 2^2+4^2-2cdot 2cdot 4cdot frac12= 12.

4. По теореме Пифагора LH= sqrt = sqrt <12-1>= sqrt <11>.

5. S_= frac12(KM+LN)cdot LH= frac12(3+1)cdot sqrt <11>= 2sqrt <11>.

Ответ

Задание №1185

Условие

В правильной четырёхугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1 сторона основания равна 9 , боковое ребро равно 14 . Точка K принадлежит ребру A_1B_1 и делит его в отношении 2:7, считая от вершины A_1.

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью, проходящей через точки A , C и K , является равнобедренной трапецией.

б) Найдите площадь этого сечения.

Решение

а) Плоскость сечения пересекает плоскость верхнего основания по прямой, проходя-щей через точку K и параллельной AC (по свойству параллельности плоскостей). Тогда плоскость AKC пересекает ребро B_1C_1 в точке L так, что KL parallel AC. Следовательно, искомым сечением будет трапеция AKLC .

KB_1parallel AB, B_1Lparallel BC, KLparallel AC. Значит, треугольники KB_1L и ABC подобны и являются равнобедренными прямоугольными треугольниками. Тогда KB_1=B_1L и A_1K=C_1L. Треугольники AA_1K и CC_1L равны, следовательно, AK=CL и трапеция AKLC — равнобедренная.

б) Найдём площадь трапеции AKLC .

A_1K=frac29A_1B_1 =frac29cdot 9=2.

Из riangle AA_1K,, AK = sqrt = sqrt <14^2+2^2>= 10sqrt 2.

AC=ABsqrt 2=9sqrt 2; KL =frac79AC=frac79cdot 9sqrt 2=7sqrt 2.

Так как трапеция AKLC — равнобедренная, имеем

Из riangle AKH,, KH= sqrt = sqrt <200-2>= sqrt <198>.

S_=frac2cdot KH,= 8sqrt 2cdot sqrt <198>=48sqrt <11>.

Ответ

Задание №1180

Условие

В правильной четырёхугольной призме ABCDA_1 B_1C_1 D_1 сторона основания равна 7 , а боковое ребро — 12 . На рёбрах A_1D_1, C_1D_1 и CB взяты точки F, К, L соответственно так, что A_1F=C_1K=CL=3.

а) Пусть P — точка пересечения плоскости FKL с ребром AB . Докажите, что FKLP — прямоугольник.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью FKL.

Решение

а) Найдём положение точки P . Эта точка пересечения плоскости FKL и ребра AB, лежащего в плоскости ABCD.

Плоскость ABCD параллельна плоскости A_1B_1C_1D_1, в которой лежит отрезок KF. Плоскость FKL пересекает параллельные плоскости ABCD и A_1B_1C_1D_1 по параллельным прямым, отсюда KF parallel LP. Прямоугольные треугольники KD_1F и LBP равны по катету и острому углу D_1F=LB=4 и angle D_1FK=angle BLP как острые с соответственно параллельными сторонами).

Чтобы доказать, что четырёхугольник FKLP — прямоугольник, найдём длины его сторон и диагонали.

PF= LK = sqrt = sqrt <9+144+9>= sqrt <162>= 9sqrt 2. Противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, значит, это параллелограмм. Проведём A_1A_2 parallel LF, тогда LF= A_1A_2 = sqrt <(LB-FA_1)^2+AB^2+AA_1^2>= sqrt <(BP-C_1K)^2+CB^2+CC_1^2>= PK. Диагонали параллелограмма равны, следовательно, FKLP — прямоугольник.

б) Пусть Q и R — точки пересечения прямой KF и прямых B_1C_1 и A_1B_1. Проведём прямые RL и QP , они пересекут рёбра CC_1 и AA_1 в точках M и N соответственно. Тогда RC_1=KC_1=CL, поэтому можно доказать, что равны треугольники RC_1M и MCL. Прямая RL , а значит, и плоскость FKL пересекают ребро CC_1 в его середине — точке M . Аналогично плоскость FKL пересекает ребро AA_1 в его середине —точке N .

В диагональном сечении CC_1A_1A, которое является прямоугольником, отрезок MN — средняя линия. В прямоугольнике MCAN противоположные стороны равны: MN=CA=7sqrt 2.

Сечение FKMLPN состоит из двух равных трапеций MKFN и MLPN , причём

мы доказали, что LK perp KF и LK perp LP. Высота каждой из этих трапеций равна frac2=frac<9sqrt 2>2.

S_< ext<сечения>>= 2S_= 2cdot frac2cdot frac2= (4sqrt 2+7sqrt 2)cdot frac<9sqrt 2>2= 99.

При решении заданий сопротивления материалов в расчетные формулы вводят величины, которые определяют формулу и размеры поперечных сечений, они называются геометрическими характеристиками плоских сечений. Первой такой величиной стоит считать площадь сечения. Рассчитать площадь поперечного сечения можно даже ствола дерева, ведь оно по форме похоже на эллипс или круг. Согласно формуле, площадь поперечного сечения круга, возможно, рассчитать достаточно точно по формуле. Площадь сечения круга или шара можно найти по формуле:

S = πR 2

При этом не стоит забывать о том, что расстояние от плоскости до центра фигуры совпадет с плоскостью, тогда плоскость поперечного сечения шара будет равняться нулю, так как касание им плоскости происходит лишь в одной точке.

Рассмотрим на примере параллелограмма. Прежде всего, для того чтобы найти площадь поперечного сечения, необходимо знать значения высоты и снования параллелограмма. Даже если нам известна только ширина основания и его длина через эти значения возможно найти диагональ, используя теорему Пифагора: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равняется сумме квадратов катетов. Формула выглядит как:

a 2 + b 2 = c 2

Из нее можно вывести такую формулу:

c = S*q*r*t*(a 2 + b 2 )

Когда у нас известно значение диагонали параллелограмма, то его можно подставить в формулу:

S – площадь поперечного сечения, h это значений высоты параллелограмма. Результат, который получится после исчислений, будет означать площадь поперечного сечения. Такая формула:

используется в тех случаях, когда сечение идет параллельно двум основаниям.

При вычислении площади поперечного сечения цилиндра, которое проходит вдоль его оснований, если одна из сторон данного прямоугольника тождественна радиусу основания, а другая из сторон – высоте цилиндра используется такая формула:

где h – высота цилиндра R – величина радиуса окружности. Если же сечение не проходит сквозь ось цилиндра и одновременно параллельно его основаниям, то это означает, что сторона данного треугольника не равняется диаметру окружности основания.

Для решения этой проблемы необходимо узнать значение неизвестной стороны предварительно нарисовав окружность у основания цилиндра. Расчет производится также по формуле выведенной из теоремы Пифагора. Затем подставляется формула:

где 2а – значение хорды, расчета площади поперечного сечения.